該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。

　　10、丟番圖方程的可解性

　　能求出一個整系數方程的整數根，稱為丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。

　　11、系數為任意代數數的二次型

　　H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。

　　12、將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去

　　這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。

　　13、不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程

　　七次方程的根依賴于3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。

　　14、證明某類完備函數系的有限性

　　這和代數不變量問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。

　　15、舒伯特計數演算的嚴格基礎

　　一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯系。但嚴格的基礎迄今仍未確立。

　　16、代數曲線和代數曲線面的拓撲問題

　　這個問題分為兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。后半部分要求討論的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式。蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。

　　17、半正定形式的平方和表示

　　一個實系數n元多項式對一切數組（x1,x2,...,xn）

　　都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。

　　18、用全等多面體構造空間

　　由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

　　19、正則變分問題的解是否一定解析

　　對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。

　　20、一般邊值問題

　　這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。

　　21、具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明

　　已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

　　22、由自守函數構成的解析函數的單值化

　　它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

　　23、變分法的進一步發展出

　　這并不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。

　　這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。

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